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In mwawfisica il mwbafonone è una mwbqquasiparticella che descrive un mwbgquanto di mwbwvibrazione in un mwcareticolo cristallino rigido.

Lo studio dei fononi è importante nella mwdgfisica dello stato solido, poiché essi giocano un ruolo significativo nella comprensione di molte proprietà dei solidi, quali il mwdwcalore specifico, la mweaconduzione termica, la mweqconduzione elettrica e la propagazione del mwegsuono.

I fononi sono la controparte mwfaquantistica di quello che in mwfqmeccanica classica è noto come mwfgsviluppo in modi normali, ovvero la scomposizione delle vibrazioni in "vibrazioni elementari", dette appunto 'modi normali'. In quest'ottica, tutte le vibrazioni possono essere viste e descritte formalmente come una sovrapposizione dei modi normali. Le vibrazioni elementari, nel seguito descritte nel caso unidimensionale, da un punto di vista classico sono delle onde.

Dal punto di vista della mwgameccanica quantistica, anche nei fononi si può osservare il cosiddetto mwgqdualismo onda-particella, ovvero la presenza contemporanea di proprietà delle mwggonde e delle particelle. La manifestazione più evidente del comportamento di particella è data dallo mwgwscattering Brillouin e mwhaRaman, in cui l'interazione tra mwhqfotoni e fononi viene matematicamente descritta come un semplice processo d'mwhgurto.

• Origine del termine ed etimologia

• Storia

• La catena monoatomica

• La catena diatomica

• Fononi ottici e acustici

• Applicazioni

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il nome fonone deriva dalla radice della parola greca mwigφωνή (fonè, suono, voce, grido),cite-ref-1[1] cioè fon-, cui viene aggiunto il suffisso -one, che è tipico per designare particelle (es.: mwjwneutrone, mwkamesone, mwkqmuone) e quasiparticelle (es.: mwkgeccitone, mwkwplasmone, mwlapolarone).cite-ref-2[2]cite-ref-3[3] La scelta del termine fonone è stata fatta dal fisico russo Yakov I. Frenkel nel 1932 in analogia al caso del mwnqfotone,cite-ref-4[4] nome che era stato coniato dal chimico-fisico statunitense mwogGilbert N. Lewis nel 1926.cite-ref-5[5]

I fononi furono introdotti all'inizio del Novecento da mwqqDebye ed mwqgEinstein, all'interno dei rispettivi modelli per il calore specifico dei solidi, quando videro che il calcolo della mwqwfunzione di partizione (e quindi delle quantità caratteristiche della meccanica statistica, come l'energia media ed i numeri d'occupazione medi) relativa alle oscillazioni del reticolo cristallino portava a risultati analoghi a quelli ottenuti nell'ambito della teoria statistica delle mwrgparticelle identiche di mwrwspin mwsaintero: i mwsqbosoni. Fu appunto questa analogia di base con i bosoni, che portò ad identificare i modi normali del reticolo cristallino con i fononi. Come i mwsgfotoni sono quanti di mwswonde elettromagnetiche, nel modello di Debye i fononi sono quanti di mwtaonde sonore, che si propagano all'interno del solido.

La spiegazione microscopica della mwtgsuperconduttività si basa sullo scambio tra mwtwelettroni di fononi, che danno luogo alle cosiddette mwuacoppie di Cooper.

Nel seguito viene descritto il modello classico delle vibrazioni elementari.

Il modello più semplice in cui compaiono i fononi è la catena monoatomica. Notiamo che l'equazione in questa forma è puramente classica. Consideriamo mwva N {\displaystyle N} masse mwvq m {\displaystyle m} disposte linearmente, a distanza di riposo mwvg a {\displaystyle a} , che interagiscano mwvwelasticamente con i loro primi vicini con una costante di richiamo elastica mwwa α α {\displaystyle \alpha } . La posizione della massa mwwq n − − {\displaystyle n-} sima sarà:

mwxa x n = n a + q n {\displaystyle x_{n}=na+q_{n}}

detto mwxg q n {\displaystyle q_{n}} l'allontanamento dalla posizione di equilibrio della massa mwxw n {\displaystyle n} -sima. Data la mwyaseconda legge della dinamica l'equazione del moto dell'mwyq n {\displaystyle n} -esima massa (di coordinate mwyg q n {\displaystyle q_{n}} ) può essere scritta come:

mwzq m ∂ ∂ 2 q n ∂ ∂ t 2 = α α [ ( q n + 1 − − q n − − a ) + ( q n − − 1 − − q n + a ) ] {\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}q_{n}}{\partial t^{2}}}=\alpha {\bigl [}\left(q_{n+1}-q_{n}-a\right)+\left(q_{n-1}-q_{n}+a\right){\bigr ]}}

Definendo con mwzw ω ω 0 2 = α α m {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {\alpha }{m}}} si ha che:

mwag ∂ ∂ 2 q n ∂ ∂ t 2 = ω ω 0 2 [ q n + 1 − − 2 q n + q n − − 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}q_{n}}{\partial t^{2}}}=\omega _{0}^{2}\left[q_{n+1}-2q_{n}+q_{n-1}\right]}

Queste sono mwca N {\displaystyle N} mwcqequazioni differenziali accoppiate e sono, in pratica, impossibili da risolvere non appena mwcg N {\displaystyle N} è superiore a mwcw 3 {\displaystyle 3} o mwda 4 {\displaystyle 4} . È quindi necessario disaccoppiare le equazioni tramite un cambiamento di mwdqsistema di riferimento, ovvero applicare una mwdgtrasformazione alle variabili mwdw q n {\displaystyle q_{n}} in modo da passare nella rappresentazione dei modi normali, operando dunque la sostituzione

mweg q n = A e i ( k j a n − − ω ω j t ) + B e − − i ( k j a n + ω ω j t ) {\displaystyle q_{n}=Ae^{i(k_{j}an-\omega _{j}t)}+Be^{-i(k_{j}an+\omega _{j}t)}}

dove abbiamo introdotto le variabili fittizie mwfa q 0 {\displaystyle q_{0}} e mwfq q N + 1 {\displaystyle q_{N+1}} , corrispondenti alle posizioni delle pareti, che imporremo successivamente essere nulle.

Vediamo ora come mwfw k j {\displaystyle k_{j}} non sia una variabile continua, ma possa assumere solo valori discreti; per questo è dato il pedice mwga j {\displaystyle j} , che va da mwgq 1 {\displaystyle 1} a mwgg N {\displaystyle N} (si dimostra che, grazie alla periodicità delle soluzioni, tutti gli altri valori che può assumere si riducono a soluzioni non indipendenti del sistema), ed è chiamato indice dei modi normali. Infatti dalla condizione di mwgwonda stazionaria (ovvero imponendo che le variabili fittizie si annullino, visto che le pareti sono ferme) segue che:

mwhg k j = 2 π π ( N + 1 ) a j {\displaystyle k_{j}={\frac {2\pi }{(N+1)a}}j\ }

Quindi le mwia N {\displaystyle N} mwiq k j {\displaystyle k_{j}} sono le nuove variabili, che sostituiscono le mwig N {\displaystyle N} mwiw q n {\displaystyle q_{n}} variabili. Con questa sostituzione di variabili si ha che il sistema di equazioni viene mwjadiagonalizzato e si ottiene che, per ogni modo normale mwjq j {\displaystyle j} vale la seguente mwjgrelazione di dispersione fra mwjw ω ω {\displaystyle \omega } e mwka k {\displaystyle k} :

mwkw ω ω j 2 = 4 ω ω 0 2 sin 2 ⁡ ⁡ ( a k j 2 ) {\displaystyle \omega _{j}^{2}=4\omega _{0}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {ak_{j}}{2}}\right)}}

Notare l'esistenza di una pulsazione massima di oscillazione delle vibrazioni pari a mwlq 2 ω ω 0 {\displaystyle 2\omega _{0}} . Inoltre per mwlg j ≪ ≪ N {\displaystyle j\ll N} quindi per lunghezze d'onda (mwlw λ λ j = 2 π π / k j {\displaystyle \lambda _{j}=2\pi /k_{j}} ) molto minori della dimensione della catena di atomi (mwma N a {\displaystyle Na} ) la relazione di dispersione sia lineare:

mwmw ω ω j ≈ ≈ ω ω 0 a k j = v s k j {\displaystyle \omega _{j}\approx \omega _{0}ak_{j}=v_{s}k_{j}}

con mwnq v s = ω ω 0 a {\displaystyle v_{s}=\omega _{0}a} , costante di proporzionalità tra mwng k j {\displaystyle k_{j}} ed mwnw ω ω j {\displaystyle \omega _{j}} , che viene comunemente chiamata mwoavelocità del suono.

Per mwog κ κ = π π a {\displaystyle \kappa ={\frac {\pi }{a}}} si ha che mwow d ω ω d κ κ = 0 {\displaystyle {\frac {d\omega }{d\kappa }}=0} , quindi l'onda che ne deriva è un'mwpaonda stazionaria, ovvero la cui mwpqvelocità di gruppo è nulla.

Immaginiamo di avere una catena di mwqa 2 N {\displaystyle 2N} atomi di massa mwqq m 1 {\displaystyle m_{1}} ed mwqg m 2 {\displaystyle m_{2}} alternati regolarmente. Definendo mwqw n {\displaystyle n} un intero compreso tra mwra 1 {\displaystyle 1} e mwrq 2 N {\displaystyle 2N} , si avrà che gli atomi sono disposte nelle posizioni:

mwsa x n = n a + q n {\displaystyle x_{n}=na+q_{n}}

avendo definito mwsg q n {\displaystyle q_{n}} l'allontanamento dalla posizione di equilibrio della massa mwsw n {\displaystyle n} -esima.

Quindi, procedendo come nel caso monoatomico, le mwtqleggi della dinamica per le due masse diventano:

mwua ∂ ∂ 2 q n ∂ ∂ t 2 = ω ω 1 2 [ q n + 1 / 2 − − 2 q n + q n − − 1 / 2 ] n pari {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}q_{n}}{\partial t^{2}}}=\omega _{1}^{2}\left[q_{n+1/2}-2q_{n}+q_{n-1/2}\right]\qquad n{\text{ pari}}}

mwuw ∂ ∂ 2 q n + 1 / 2 ∂ ∂ t 2 = ω ω 2 2 [ q n + 1 − − 2 q n + 1 / 2 + q n ] n dispari {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}q_{n+1/2}}{\partial t^{2}}}=\omega _{2}^{2}\left[q_{n+1}-2q_{n+1/2}+q_{n}\right]\qquad n{\text{ dispari}}}

avendo definito con mwvq ω ω 1 2 = α α m 1 {\displaystyle \omega _{1}^{2}={\frac {\alpha }{m_{1}}}} e mwvg ω ω 2 2 = α α m 2 {\displaystyle \omega _{2}^{2}={\frac {\alpha }{m_{2}}}} . Le equazioni rappresentano sinteticamente le mwvw 2 N {\displaystyle 2N} equazioni accoppiate che possono essere diagonalizzate facendo il cambiamento di variabile:

mwwg q n = A e i ( k j n a + ω ω j t ) n pari {\displaystyle q_{n}=Ae^{i(k_{j}na+\omega _{j}t)}\qquad n{\text{ pari}}}

mwxq q n = B e i ( k j n a + ω ω j t ) n dispari {\displaystyle q_{n}=Be^{i(k_{j}na+\omega _{j}t)}\qquad n{\text{ dispari}}}

con mwzq k j {\displaystyle k_{j}} nuovo parametro definito dall'indice di modo mwzg j {\displaystyle j} che assume i valori:

mw0q k j = 2 π π 2 N a j j pari {\displaystyle k_{j}={\frac {2\pi }{2Na}}j\qquad j{\text{ pari}}}

mw1a k j = 2 π π ( 2 N − − 1 ) a j j dispari {\displaystyle k_{j}={\frac {2\pi }{(2N-1)a}}j\qquad j{\text{ dispari}}}

Con semplici passaggi matematici si ha quindi:

mw2a ω ω j 2 = ω ω 1 2 + ω ω 2 2 ± ± ( ω ω 1 2 + ω ω 2 2 ) 2 − − 4 ω ω 1 2 ω ω 2 2 sin 2 ⁡ ⁡ ( k j a / 2 ) {\displaystyle \omega _{j}^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm {\sqrt {(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2})^{2}-4\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2}\sin ^{2}(k_{j}a/2)}}}

mw2w B A = 1 − − ω ω j 2 / ( 2 ω ω 1 2 ) cos ⁡ ⁡ ( k j a / 2 ) {\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {1-\omega _{j}^{2}/(2\omega _{1}^{2})}{\cos(k_{j}a/2)}}}

Le due soluzioni possibili sono schematizzate nella figura a fianco ed indicate rispettivamente come banda acustica, simile a quella del reticolo monoatomico con mw3q ω ω {\displaystyle \omega } sempre inferiore ad mw3g ω ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} .

Da completare con descrizione della figura

=== Quantizzazione della catena monoatomica === Una volta passati alla rappresentazione dei modi normali è possibile procedere alla [[meccanica quantistica|quantizzazione]] di ciascun [[oscillatore armonico]] indipendentemente

Come ottenuto dalle derivazioni precedenti, 1D, nel caso di atomi della stessa specie si ottiene una relazione di dispersione con una sola banda fononica, quella acustica, mentre quando gli atomi sono differenti le bande fononiche sono due, quella acustica e quella ottica. In realtà non è la specie atomica in sé a determinare la presenza o meno di entrambe le bande, ma le caratteristiche del mw4wreticolo cristallino, cioè la possibilità o meno di compiere alcune oscillazioni. In particolare si distinguono oscillazioni in fase e in controfase rispettivamente attribuibili ai fononi acustici ed ottici. Le diverse configurazioni che portano alla compresenza delle due tipologie di fononi sono: cristallo con cella primitiva con base (come nel caso del silicio) e cristallo formato da specie atomiche differenti.

Nel caso del silicio la dispersione che si ottiene è peculiare; la banda acustica e quella ottica si "toccano". Seguendo la derivazione la motivazione è immediata, i mw5ggradi di libertà aggiuntivi non risentono di alcuna differenza di massa fra i due atomi della catena biatomica. In generale, invece, è proprio la differenza fra le masse delle due specie atomiche coinvolte che determina la separazione fra le bande.

L'origine del nome delle bande risiede in alcuni dei risvolti sperimentali che si sono osservati. I fononi acustici, nell'approssimazione di onda lunga, e quindi nella zona di regime lineare attorno al mw6apunto Γ, sono caratterizzati da un mw6qcoefficiente angolare coincidente con la mw6gvelocità del suono nel mezzo.

I fononi ottici sono coinvolti nell'interazione con la radiazione elettromagnetica e quindi nell'accoppiamento fonone-fotone. La presenza di asimmetria nella struttura cristallina rende possibile l'instaurarsi di dipoli elettrici, che interagiscono quindi con il campo incidente. La trattazione fisico-matematica segue quelle dell'mw7aoscillatore armonico in presenza di una mw7qforzante esterna e dell'accoppiamento forte.cite-ref-6[6] Il fenomeno dell'accoppiamento mw8gdipolo-mw8wfotone, e quindi della formazione di un mw9apolaritone fononico, è assai evidente nei cristalli ionici dove la differenza di elettronegatività delle specie rende l'accoppiamento particolarmente forte.

In 3D la trattazione si generalizza naturalmente, si hanno 3 bande acustiche e 3 bande ottiche, divise in una longitudinale e due trasversali. Nel caso delle bande ottiche esiste una relazione, di Lyddane-Sachs-Teller, che associa il rapporto dei quadrati delle frequenze dei LO (fononi ottici longitudinali) e dei TO (fononi ottici trasversali), al rapporto fra le mw9gcostanti dielettriche statica e dinamica:

mw-a ω ω L O 2 ω ω T O 2 = ϵ ϵ s ϵ ϵ ∞ ∞ {\displaystyle {\omega _{LO}^{2} \over \omega _{TO}^{2}}={\epsilon _{s} \over \epsilon _{\infty }}} .

Attraverso la relazione di LST viene identificata una connessione fra le dinamiche ioniche (più lente) e quelle elettroniche (più veloci) nei fenomeni di mw-gpolarizzazione e interazione elettro-ottica, base per la definizione e la rilevazione dei polaritoni fononici, argomenti attualmente di grande interesse teorico e sperimentale.cite-ref-7[7]

Nel novembre mwaqe2013 sulla rivista mwaqiNature sono stati presentati i primi diodi acustici e termici basati sullo studio e la manipolazione dei fononicite-ref-8[8]. Da studi pubblicati nel mwaqc2019 è emerso che i fononi sarebbero capaci di manifestare caratteristiche antigravitazionali, questa qualità potrebbe essere sfruttata in futuro per applicazioni in diverse branche della ricerca scientificacite-ref-9[9].

cite-note-11. ↑ mwarimwarmmwarqDIZIONARIO GRECO ANTICO - Greco antico - Italiano, su mwaruwww.grecoantico.com. mwaryURL consultato il 22 marzo 2024.

cite-note-22. ↑ mwaromwarsmwarw-one - Treccani, su mwar0Treccani. mwar4URL consultato il 1º marzo 2024.

cite-note-33. ↑ mwasimwasmCambridge physics in the thirties, Hilger, 1984, mwasqISBNmwasu 978-0-85274-761-2.

cite-note-44. ↑ mwasoYakov Ilyich Frenkel, mwassWave Mechanics. Elementary theory, Oxford, Clarendon Press, 1932.

cite-note-55. ↑ mwas8(mwatamwateEN) mwatimwatmDecember 18, 1926: Gilbert Lewis coins “photon” in letter to Nature, su mwatqwww.aps.org. mwatuURL consultato il 28 febbraio 2024.

cite-note-66. ↑ mwatkLukas Novotny, mwatomwatsStrong coupling, energy splitting, and level crossings: A classical perspective, in mwatwAmerican Journal of Physics, vol.mwat0 78, n.mwat4 11, 2010-11, pp.mwat8 1199-1202, mwauaDOI:mwaue10.1119/1.3471177. mwauiURL consultato il 22 giugno 2021.

cite-note-77. ↑ mwauyGIUSEPPE GROSSO e GIUSEPPE PASTORI PARRAVICINI, mwaucmwaugSolid State Physics, Elsevier, 2000, pp.mwauk 663-721, mwauoISBNmwaus 978-0-12-304460-0. mwau0URL consultato il 22 giugno 2021.

cite-note-88. ↑ mwavemwavimwavmSuoni e calore, la rivoluzione tecnologica corre sui fononi, su mwavqlescienze.it.

cite-note-99. ↑ mwavgmwavkmwavoLe onde sonore hanno massa? Forse, ma negativa, su mwavslescienze.it.

• mwav8L. D. Landau, Soviet Phys. JETP. mwawa3, 920 (1957)

• L. D. Landau, Soviet Phys. JETP. mwawi5, 101 (1957)

• mwawq(EN) Aleksej A. Abrikosov, Lev P. Gorkov e Igor E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics, New York, Dover Publications, 1975, ISBN 978-04-86-63228-5.

• mwawy(EN) David Pines e Philippe Nozières, The Theory of Quantum Liquids, Volume I: Normal Fermi Liquids, Boulder, Westview Press, 1999, ISBN 978-02-01-40774-7.

• mwawg(EN) John W. Negele e Henri Orland, Quantum Many-Particle Systems, Boulder, Westview Press, 1998, ISBN 978-07-38-20052-1.

• Moto armonico

• Oscillatore armonico

• Quasiparticella

• Suono

• Frattale

• Elasticità lineare

• Onde di Rayleigh

• Onda acustica di superficie

• Conduttività termica

Altri progetti

• Wikizionario

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• citereftreccani-itfonone, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefdizionario-delle-scienze-fisichefonone, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

• citerefenciclopedia-della-scienza-e-della-tecnicaGiuseppe La Rocca, fononi, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2008.

• citerefvocabolario-treccanifonóne, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefsapere-itfonóne, su sapere.it, De Agostini.

• citerefbritannica-com(EN) Sidney Perkowitz, phonon, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• mwaxe(EN) IUPAC Gold Book, "phonon", su goldbook.iupac.org.